La Lotería de Navidad es, quizás, uno de los momento más especiales de la Navidad española. Pese a que, efectivamente, muchos consideran que la lotería no es más que el impuesto de tontos, o el tributo que pagan los que no tienen idea de matemáticas, lo cierto es que muchos lo ven como algo más que el mero componente económico: un vehículo de pertenencia al grupo, una cierta esperanza pese a que se trata del premio que menos toca del año.

Más allá del componente emocional, social y psicológico que nos lleva a comprar y jugar a la Lotería de Navidad, efectivamente desde el punto de vista económico, y más allá de la utilidad final de que te toque o no el premio, no tiene mucho sentido. Las probabilidades, cuando jugamos a la lotería, juegan en nuestra contra y, en todo caso, no es la mejor inversión dado el desembolso inicial.

Dicho esto, estamos de acuerdo en que, efectivamente, se trata de el tributo que pagan los que no tienen ni idea de matemáticas, puesto que jugando un décimo, que es la apuesta más recurrente en la Lotería de Navidad, la probabilidad de que toque el premio principal, el Gordo, cae hasta un 0,001% de opciones de que su número salga premiado. Básicamente es una forma de decir que, aplicando la lógica y dejando fuera la utilidad emocional, ese número es suficiente para decidir no comprar y no jugar la lotería.

Las cosas no mejoran si nos vamos a premios más austeros: del primer al tercer premio, la probabilidad es de 0,001%, para el cuarto premio del 0,002%, en el 5 premio del 0,008% y la pedrea (lo jugado) del 1,794%. Para el resto de premios (números anterior y posterior al 1º) es de 0,002%, exceptuando el premio a la centenas del 1º, 2º, 3º premio. En cuanto a los dos 4º premios, las opciones son del 0,495%. Puedes calcular la probabilidad simplemente dividiendo el total de premios (en número de tantos como se den) de cada categoría por el total de números disponibles y multiplicando por 100 para sacar el porcentaje.

En realidad, lo cierto es que cuando jugamos a la lotería, en términos generales, no esperamos ganar. Y si lo hacemos, nuestra esperanza es bastante reducida. Y no hablamos de la esperanza de que nos toque el premio, sino de la esperanza matemática que determina cuánto esperamos ganar en función de lo que nos gastamos en lotería, lo que refuerza aún más el mantra de que, en términos de inversión y retorno general, es un impuesto para tontos (incluyendo al presente que escribe estas líneas).

En estadística, la esperanza es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio, y en el caso que nos ocupa, es la relación entre el premio obtenido y probabilidad de acertar. Básicamente, la esperanza se determina como un valor menor, mayor o igual a uno, utilizando esa unidad como referencia, aunque formalmente se utiliza 0 como valor de referencia de juego justo y números negativos o positivos.

De esta forma, si la esperanza matemática es 1, se trata de un juego justo; menor que uno es desfavorable para el jugador y una esperanza mayor que uno favorable. Por regla general, y dada las características de un juego tipo apuesta con componente aleatorio, como la lotería, la esperanza siempre es menor que uno. Para el jugador, siempre se trata de un juego desfavorable en el que hay más posibilidad de perder dinero que de ganarlo. Aquí es donde entra el factor emocional: el jugador medio estará dispuesto a perder un pequeña cantidad de dinero para tener un pequeña posibilidad de ganar mucho dinero. Para el caso de la Lotería de Navidad, la esperanza es de 0.7, por lo que cada diez euros que invirtamos en lotería esperamos ganar siete, lo que significa que nuestra esperanza por décimo es de 14 euros. El retorno esperado es siempre inferior a la inversión realizada.

Con estos datos sobre la mesa, lo lógico es no jugar, pero como decíamos anteriormente, desde el punto de vista emocional siempre estaremos dispuestos perder un poco si podemos ganar mucho, lo que hace que, por una vez al año, el jugador emocional que llevamos dentro gane al racional.