¿Podría ChatGPT ganar la medalla Fields de matemáticas?

En este artículo vamos a poner a prueba los conocimientos matemáticos de ChatGPT. Intentaremos aprovechar la inteligencia artificial para buscar un contraejemplo del Teorema Fundamental del Álgebra, descubrimiento que sin duda nos lanzaría hacia la Medalla Fields. 

Si preguntamos por las raíces de un polinomio de grado 3, en este caso todas reales, ChatGPT nos argumenta que la resolución analítica puede complicarse dependiendo del polinomio propuesto, así que nos recomienda utilizar un método numérico iterativo como el método de Newton-Raphson. 

Un error en el cálculo de la derivada

Hasta el momento, no podemos dudar de la capacidad matemática de la IA, por lo que intentamos que resuelva el problema de encontrar las raíces del polinomio p(x) = x³ - 3x² + 4 y para nuestra sorpresa realiza mal el cálculo de la derivada, por lo que la obtención de las raíces no es correcta. Nos devuelve x = 0 como raíz del polinomio y le pedimos que lo compruebe. Como es lógico, se da cuenta de la existencia de un error, pero no conoce dónde lo ha cometido. Ayudamos haciendo ver que el error está en la derivada del polinomio y le pedimos que vuelva a calcular las raíces mediante el método de Newton-Raphson. Sorprendentemente, vuelve a cometer un error de cómputo. Esta vez en una operación simple tal y como apreciamos en la siguiente imagen:

Al advertir el error en los cálculos, se los pedimos de nuevo cometiendo otro error más, por lo que le damos la primera iteración del método de Newton-Raphson, a saber, x₁ = 5/3 y solicitamos continuar las iteraciones, resultando que x₁ = 5/3 es raíz del polinomio. Corroboramos preguntando de nuevo si el valor 5/3 es una raíz del polinomio, y obtenemos una respuesta afirmativa. Pedimos calcular el valor del polinomio en ese valor, y, como el resultado es distinto de cero, le hacemos ver que no puede ser una raíz. Lo entiende y se disculpa como podemos ver a continuación:

Concluimos que la teoría sobre el método de Newton-Raphson es correcta, pero no así su aplicación, por lo que intentamos hallar las raíces mediante otro método, como por ejemplo, la factorización del polinomio. 

En este caso, nos devuelve que las raíces del polinomio p(x) son x = r y x = 1 ± 2i. 

Al pedirle la comprobación de que el valor de p(1+2i) es distinto de cero y que por consiguiente no puede ser una raíz de nuestro polinomio, nuevamente reconoce el error. Llegados a esta situación, vamos con una pista, y le decimos que x = - 1 es una raíz real del polinomio y que calcule el resto de raices. Su primera respuesta no puede ser más sorprendente, diciéndonos que además de x = - 1, las demás raíces del polinomio p(x)=4 - 3x² + x³ son x = 1 + 2i y x = 1 - 2i. Hasta en cuatro ocasiones vuelve a dar resultados incorrectos, así que no nos queda más remedio que facilitarle una nueva raíz. En este caso, en vez de dársela, le preguntamos si x = 2 es raíz de nuestro polinomio. Juzgen ustedes mismos la respuesta, o más bien, los cálculos que ChatGPT realiza para comprobar que x = 2 no es raíz:

Tras comprobar los cálculos de nuevo, finaliza explicando que las raíces de nuestro polinomio son x = - 1, x = 1 y x = 2. 

Le pedimos verificar que las tres son raíces, devolviendo lo correcto, es decir, x = 1 no es raíz mientras que los otros dos valores sí lo son. No nos damos por vencidos e intentamos buscar la tercera raíz del polinomio, y justo es donde encontramos el mayor error de interpretación. Nos explica que: “El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, tanto reales como complejas.

Así, si un polinomio de grado n tiene k raíces reales, entonces debe tener n-k raíces complejas.” Hasta aquí estamos de acuerdo. Continuamos con: “En el caso del polinomio p(x) = 4 - 3x² + x^3,hemos encontrado que tiene dos raíces reales, x = - 1 y x = 2. Como p(x) es un polinomio de grado 3, entonces debe tener una raíz compleja adicional. Esta raíz compleja es x = 1 ± 2i.” No podemos salir de nuestro asombro y entendemos que sólo quería mostrarnos una de las dos raíces, por lo que le damos otra oportunidad, resultando:

Por lo que si estamos en lo cierto, acabamos de encontrar un contraejemplo del Teorema Fundamental del Álgebra, un polinomio de grado 3 con 4 raíces. ¿Nos proponemos para la medalla Fields?

La inteligencia artificial se reafirma en que su respuesta es correcta hasta en dos ocasiones más, mostrando que un polinomio de grado 3 puede tener 4 raíces. Incluso nos recomienda encontrarlas mediante el método de Bisección. Ahora sí, desistimos de seguir buscando las raíces de un polinomio de grado 3 sencillo. Nos despedimos cordialmente con una última píldora:

Como resumen final, no estamos diciendo que ChatGPT sea una mala inteligencia artificial, ni mucho menos, si no justo lo contrario, es muy buena. Pero en lo suyo, en el Procesamiento del Lenguaje Natural, aunque en Matemáticas, todavía le queda mucho por aprender. Debemos ser críticos con los resultados que los motores nos devuelven: no son ciertos por muy bien explicados que estén, y siempre hace falta un humano que pueda comprobar su veracidad.