Si nos hablan de problemas matemáticos, nos vienen a la mente todas esas historias de repartos de dinero entre nietos o trenes que se cruzaban entre dos estaciones cuando íbamos al colegio. Realmente las matemáticas están en todas partes. Prácticamente todo lo que hacemos a lo largo de nuestro día a día podría transformarse en un problema matemático. Un problema matemático con solución, que unas veces nos gustará y otras no tanto. Sin embargo, no siempre se pueden resolver. Es el caso de las conjeturas.
Estas son afirmaciones que se suponen ciertas, pero que nadie ha podido demostrar ni refutar. A veces son bastante intrincadas. Otras, en cambio, son aparentemente sencillas. Pero muy difíciles de explicar.
Tal es el interés por resolverlas que incluso se han llegado a ofrecer grandes sumas de dinero a quien lo consiga. De hecho, en el año 2000 el Clay Mathematics Institute, de Cambridge, publicó una lista de siete problemas matemáticos de este tipo, bautizada como los problemas del milenio. Se prometió que se le entregaría un millón de dólares a cualquiera que fuese capaz de resolverlos. La cifra era alta, pero también la complejidad de estas conjeturas. Sin embargo, seis años más tarde uno de ellos ya tenía solución. Concretamente la conjetura de Poincaré. El responsable de la demostración fue el matemático ruso Grigori Perelman; quien, curiosamente, rechazó el premio, ya que no consideraba que hubiese hecho algo extraordinario.
En este artículo vamos a ver algunos de esos problemas matemáticos que nadie ha podido resolver. La mayoría de ellos no son problemas del milenio, sino otras afirmaciones tan sencillas que sorprende que no haya sido posible darles una explicación.
Aparentemente, el más sencillo de los problemas matemáticos sin resolver
La conjetura de Goldbach es posiblemente el más antiguo de los problemas matemáticos sin resolver. También uno de los más sencillos aparentemente. Pero uno especialmente complicado. Lo enunció en 1742 el matemático Christian Goldbach y reza así:
“Todo número par mayor que dos puede escribirse como la suma de dos números primos”.
Christian Goldbach, matenático
Cualquier número par que nos venga a la mente la cumple. El 30, por ejemplo, es la suma de 13 y 17. Y de 11 y 19. El 5, más sencillo, es la suma de 3 y 2. El 200, mucho más alto, de 197 y 3.
Está claro que esto es así. Sin embargo, en matemáticas no basta con afirmar las cosas. Es importante demostrarlas y, a día de hoy, no ha habido nadie capaz de hacerlo.
Irracionales por separado: ¿pero y si se juntan?
Tanto el número pi como el número e son números irracionales. Esto quiere decir que no se puede representar como la fracción de dos números. O, dicho de un modo más sencillo, que sus decimales son infinitos y sin seguir ningún patrón.
Sin embargo, según cuenta en un vídeo de RTVE el matemático Santiago García Cremades, lo que no está tan claro es que la suma, la resta, la multiplicación o la división de pi y e sean también irracionales.
El problema que parece sacado de un capítulo de 'Friends'
Otro de esos problemas matemáticos sin resolver que parecen sencillos, pero en realidad no lo son, recuerda inevitablemente a uno de los capítulos más emblemáticos de Friends.
El último cálculo se hice en 1991, pero no se sabe si habrá otra cifra por encima
En él, todos los amigos ayudaban a Ross a subir a su casa un sofá por unas escaleras muy estrechas. Todo iba bien hasta que tenían que tomar una curva y se quedaban atascados.
En este caso, descrito en este artículo por la matemática Clara Grima, se intenta llevar el sofá por un pasillo. Fue un problema enunciado en 1966 por el matemático Leo Moser. Se preguntó cuál sería la figura de área máxima que podríamos girar por un pasillo en forma de L, con un metro de anchura. Inicialmente pensó que se trataría de un semicírculo de un metro de radio. En ese caso, su área sería la mitad de la de un círculo de radio 1. Es decir, pi/2 o, lo que es lo mismo, 1,57079…
Sin embargo, más tarde otro matemático, John Hammersley, definió un sofá, similar al auricular de un teléfono antiguo, que también podría girarse por el pasillo. En este caso, su área sería de 2,2074…
Y la cosa no quedó ahí. En 1991, otro matemático, Joseph L. Gerver, definió un sofá similar al de Hammersley, pero con curvas más complicadas. En su caso, el área era de 2,219531669. Es la más grande que se ha obtenido hasta ahora. Pero no se ha podido demostrar que sea la máxima. Por eso, de nuevo estamos ante una conjetura.
La sencilla conjetura de Collatz… ¿o no es tan sencilla?
Del mismo modo que la de Goldbach, la conjetura de Collatz es uno de esos problemas matemáticos que a simple vista parecen muy fáciles.
Esta conjetura fue enunciada en 1937 y desde entonces nadie ha podido demostrarla ni refutarla
Básicamente dice que si tomamos cualquier número entero positivo, podremos hacer dos cosas con él. Si es par, dividimos entre 2. Si es impar, multiplicamos por 3 y sumamos 1. Al ir repitiendo el proceso con los resultados obtenidos, inevitablemente llegaremos a 1. Vamos a verlo con el 9, por ejemplo.
Es impar, así que multiplicamos por 3 y sumamos 1. Obtenemos el 28. Este sí es par, así que dividimos entre 2. Obtenemos el 14, que sigue siendo par, de modo que de nuevo dividimos entre 2. El resultado es 7. Es un número impar, así que multiplicamos por 3 y sumamos 1. Obtenemos 22. Dividimos entre 2 y tenemos 11. Multiplicamos por 3 y sumamos 1. 34. Dividimos entre dos para obtener 17. Nuevamente multiplicamos por 3 y sumamos 1 para llegar a 52. Dividimos entre dos y llegamos a 26. Otra vez entre 2 nos da 13. Multiplicamos por 3 y sumamos 1, alcanzando así el número 40. Es par, así que dividimos entre 2. Nos da 20. Otra vez entre 2 nos lleva a 10. Otra vez entre 2. Tenemos ya un 5. Es impar, de modo que multiplicamos por 3 y sumamos 1. Llegamos a 16. Dividimos entre 2. El resultado es 8, par. Dividimos entre 2 y nos da 4. Otra vez entre dos para llegar a 2 y, finalmente, 2 entre 2 es 1.
Si probamos con absolutamente cualquier número, llegaremos igualmente a 1. Es algo de lo que se dio cuenta en 1937 el matemático Lothar Collatz, pero no supo demostrar los motivos. Y, a día de hoy, nadie ha podido.
El problema matemático de los primos gemelos
Como bien aprendimos en el colegio, los números primos son aquellos que solo se pueden dividir entre sí mismos y entre 1. Por ejemplo, el 3, el 7 o el 13.
A su vez, se sabe que existen parejas de números primos, conocidas como gemelos; que, al restarse, dan como resultado el número 2. Por ejemplo, el 3 y el 5 o el 17 y el 19. Lo que no se sabe es si estas parejas son infinitas. Por eso, puede considerarse también uno de esos problemas matemáticos sin respuesta.
Como todos, aparentemente sencillos, pero endiablados de resolver. Pero no nos dejemos engañar por su dificultad; pues, aun con ella, no hacen más que aumentar la maravillosa magia de las matemáticas.