Todos deberíamos saber qué es un número primo. Pero, ¿por qué? ¿Qué tienen de especial estos números para que sean tan importantes? Su presencia, su naturaleza y su utilidad los convierten en elementos imprescindibles e inherentes de las matemáticas. Sin embargo, esto no contesta a nuestra pregunta. Al menos de manera directa. ¿Para qué los empleamos "realmente"?
¿Qué es un número primo?
Vamos a repasar la cuestión básica que puede que muchos no recuerden: ¿qué son los números primos? Estas cifras se caracterizan por ser divisibles únicamente entre sí mismos y uno. El resto de número se denomina compuestos. Ejemplos de números primos son el 2, 3, 5, 7, 11... La cantidad de números primos es infinita, tal y como describió Euclides en la antigua Grecia, que es también la primera referencia a estos números que tenemos. Entre otras cosas, es importante saber que el número 1 no se considera ni compuesto ni primo, por convenio. Los números primos de Mersenne, llamados así en honor al filósofo Marine Mersenne, no solo son primos, sino que han de ser una potencia de dos menos uno (es decir, [2^n] - 1). Estos números son importantes por sí mismos, ahora veremos por qué.
Pero volviendo a todos los números primos, en definitiva, estos son los "ladrillos" con los que se construyen todos los números (compuestos). Para entenderlo mejor, Hipertextual se ha puesto en contacto con José Santiago García Cremades, matemático, comunicador científico y profesor. "A mí me gusta ver los números primos como los arquitectos de los otros números", nos explica, "sin embargo, a los números primos no los construye nadie. Son arquitectos huérfanos. Esto es lo que los hace tan interesantes. Construyen a los demás números pero nadie sabe cómo los han construido a ellos". Análogamente, Santi nos explica que para Euclides los números primos podrían ser a los números como los átomos a la materia.
Su especial naturaleza los hace verdaderamente excepcionales. Por ejemplo, a pesar de que existen diversos algoritmos para tratar de encontrarlos y definirlos, lo cierto es que su aparición parece totalmente aleatoria, siendo impredecibles. "De momento se supone que su distribución es caótica. Aunque hay una hipótesis que supone un patrón en su acumulación, que determinó ya Gauss. Es una pregunta abierta muy interesante pues si encontráramos un patrón en esta distribución caótica, podría dar mucha información sobre de dónde venimos", afirma. "Si determinamos el caos, estaríamos más cerca de entender algunos sucesos naturales que también parecen caóticos". Por todo ello, los números primos han captado la atención de los matemáticos más importantes de la historia por suponer un auténtico reto intelectual, por su belleza o, en ocasiones, por su utilidad.
En la base de las matemáticas
Probablemente cualquier cultura con conocimientos matemáticos ha intuido la existencia e importancia de los números primos. Aunque no es hasta Grecia cuando tenemos constancia escrita de la consciencia sobre ellos, estos números están en la base de las matemáticas de civilizaciones mucho más antiguas. Los números primos son imprescindibles en el Teorema Fundamental de la Aritmética. "Cualquier número se descompone en un producto único de números primos", nos explica Santi, "para cualquier número del uno al infinito existe una descomposición de números primos única por cada número".
"Euclides era una especie de cocinero de los números. A él le gustaba comprobar como se iban construyendo y descomponiendo los números. Buscó una estructura homogénea común a todos los números que pudiese descomponer el número a la mínima parte. Definió un algoritmo para rascar cualquier número y desmenuzarlo en todas sus partes"
Esta es la base de la descomposición factorial que prácticamente todos hemos practicado en la escuela. Euclides ya definió tanto este teorema como a los propios números primos. Además, también definió el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, proporcionando un método para determinarlos (lo que hoy conocemos como el algoritmo de Euclides). Por si no lo recordáis, todo esto es básico en cualquier cálculo que queramos hacer. Es la base aritmética para cualquier planteamiento de naturaleza matemática ya sea sencillo o complejo.
¿Para qué sirven los números primos?
Vayamos al grano. ¿Para qué nos sirven? ¿Cómo los usamos y qué nos solucionan? En primer lugar, como acabamos de decir, los números primos sirven para asentar las bases de cualquier (y digo cualquier) número. Aunque otras culturas nunca han hecho demostración de conocer la teoría existente tras estos números, como explicábamos, sí que han mostrado que conocían estos números aunque fuese de forma intuitiva. Y es que sin ellos no podemos elaborar algoritmos y cálculos complejos. Actualmente las matemáticas están en la base de todo nuestro conocimiento técnico y científico. Sin conocer los números primos, cómo determinarlos y qué implicaciones teóricas tienen, no podríamos hacer nada de lo que hacemos.
"Hablando de los números primos muy grandes", explica Santi al preguntarle por los números primos de Mersenne, "hay dos aspectos. Uno útil y otro muy inútil. Pero que es curioso y bonito. El inútil es esto de hallar el número primo más grande del mundo. No tiene ninguna utilidad, ni siquiera para la teoría matemática". Pero entonces, ¿por qué seguimos buscando? "Hay una cosa que sí que es muy útil en matemática aplicada. Los números primos muy grandes, que se obtienen con el algoritmo que busca los números primos de Mersenne, permiten obtener un código criptográfico muy seguro". Efectivamente, los números primos de gran tamaño, pueden emplearse para codificar cualquier tipo de información de manera segura. "Si tú coges un par de números grandísimos primos y multiplicas, para poder obtener los originales que lo constituían es dificilísimo. Esto lo usan los bancos en los números de seguridad, las transferencias bancarias y otras operaciones".
Con los dos números originales la codificación se revierte fácilmente. "Multiplicar es fácil, pero encontrar el divisor es mucho más complejo", explica el matemático. Los números primos, además, aparecen en la naturaleza de manera espontánea, como aparecen ellos mismos en la sucesión numérica. También se emplean a nivel de marketing y negocio ya que representan números interesantes económicamente hablando: "si te fijas, cuando ponen un cubo con quintos de cerveza, suelen poner un número primo de botellines, tres, cinco o siete. Pero soléis ir de dos en dos, cuatro amigos o tres. Al final, el cubo se queda insuficiente e invita a comprar otro cubo más". Y es que, como decíamos, los números primos están presentes en la vida cotidiana y donde menos lo esperas: Bien sea en los años de reproducción de una chicharra, en la sucesión de Fibonacci o en el cubo de quintos de cerveza de un bar.
